Учитель. Конечно, складывать и вычитать легче, чем умножать и делить, да извлекать корни труднее, чем делить. И если бы между числами нижней строки не было таких больших разрывов, то таблицы прогрессий можно было бы использовать для облегчения вычислений. Как улучшить таблицу Штифеля?
Ученик 4. «Уплотнить» верхнюю строчку можно так: между членами арифметической прогрессии будем вставлять их среднее арифметическое. Например, между 1 и 2 вставим 
, между 1 и 
вставим 
, между 
и 2 вставим 
и т. д. Этот процесс можно продолжать и будет получаться арифметическая прогрессия со все меньшей и меньшей разностью и со все большим и большим числом членов.
Выпишем часть верхней таблицы с вставками:
1 
2
Учитель. Но как «уплотнить» геометрическую прогрессию? Что вставить между 2 и 4 = 22 под числом 
.
Ученик 4. Естественно, среднее геометрическое этих чисел, т.е. 
. А между 2 и 
, можно вставить 
Учитель. Рассмотрим часть таблицы с вставками:
-1 |
0 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Вот куда ведут прогрессии – недаром само слово progression означает «движение вперед». Их изучение представляет большое практическое значение. Сейчас, решая разнообразные задания, поймем их значимость.
Задачи на применение прогрессий: |
ответ |
|
1 |
Чтобы отправить четыре бандероли, требуется четыре разные почтовые марки на общую сумму 120 рублей. Цены марок составляют арифметическую прогрессию. Сколько стоит самая дорогая марка, если она в три раза дороже самой дешевой? |
45 |
2 |
Какой цифрой оканчивается сумма всех двузначных чисел? |
5 |
3 |
В первом ряду кинотеатра 21 кресло, В каждом последующем ряду на 2 кресла больше, чем в предыдущем. Сколько кресел в 40 ряду? |
99 |
4 |
Сумма 25 последовательных натуральных чисел равна 1000. Найдите наименьшее из этих чисел. |
28 |
5 |
Найдите сумму всех двузначных чисел, которые при делении на 7 дают в остатке 2 |
654 |
6 |
Найдите число двузначных натуральных чисел, кратных 7. |
13 |
7 |
Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 6 и не превосходящих 150. |
1950 |
8 |
Найдите сумму всех двузначных чисел из одинаковых цифр. |
495 |
9 |
Сколько двузначных чисел делится на 15? |
6 |
10 |
Какой цифрой оканчивается сумма нечетных чисел от 1 до 75? |
4 |
11 |
Найдите |
0 |
12 |
Вычислите |
0,5 |
13 |
Решите уравнение |
1 |
14 |
Решите уравнение |
|
15 |
Решите уравнение |
|
16 |
Длины сторон выпуклого многоугольника образуют арифметическую прогрессию с разностью 4. Периметр многоугольника равен 75, а наибольшая сторона равна 23. Сколько сторон имеет данный многоугольник. |
5 |
17 |
Из трех чисел, составляющих убывающую геометрическую прогрессию, наименьшее число равно 18. Если это число поменять на 10, то эти три числа образуют арифметическую прогрессию. Найдите первое число. |
50 |
, если 
образуют геометрическую прогрессию в указанном порядке.
, 
.
;
Учитель. Мы начали наш урок с высказывания
А.С. Пушкина. И в заключение напомним строки из его романа «Евгений Онегин», о его герое: «…Не мог он ямба от хорея, как мы ни бились, отличить». Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха.
Ямб – стихотворный размер с ударениями на четных слогах стиха (Мой дя`дя са`мых че`стных пра`вил), т.е. ударными являются второй, четвертый, шестой, восьмой, ит.д. слоги. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и с разностью, равной 2.
Хорей - стихотворный размер с ударениями на нечетных слогах стиха (Бу`ря мгло`ю не`бо кро`ет). Номера ударных слогов так же образуют арифметическую прогрессию, но ее первый член равен 1, а разность 2.
Домашняя работа: конкурсное решение задач:
Задачи на применение прогрессий: |
ответ |
Три числа, сумма которых равна 15, является первыми тремя членами арифметической прогрессии. Если к ним соответственно прибавить числа 1; 3; 9, то вновь полученные числа будут являться тремя последовательными членами возрастающей геометрической прогрессии. Найдите сумму первых шести членов этой геометрической прогрессии. |
252 |
Три числа, сумма которых равна 35, являются первыми тремя членами возрастающей геометрической прогрессии. Если из них соответственно вычесть числа 2; 2; 7, то вновь полученные числа являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии. Найдите сумму первых десяти членов этой арифметической прогрессии. |
255 |
Числа 2; |
3 |
; 
являются первыми тремя членами возрастающей геометрической прогрессии. Если ко второму члену этой прогрессии прибавить 4, то получается три первых члена арифметической прогрессии. Найдите знаменатель исходной геометрической прогрессии.